一、实验内容

模拟产生齐次泊松过程和非齐次泊松过程的样本轨道，并通过图像进行展示。说明模拟数据的实现过程和结果展示。
实现软件:python3.12

二、源代码

import numpy as np  
import matplotlib.pyplot as plt  
from scipy.stats import poisson  
  
# 齐次泊松过程模拟  
def homogeneous_poisson_process(T, lambda_):  
    """  
    模拟齐次泊松过程  
    :param T: 模拟的总时间  
    :param lambda_: 事件发生的平均速率  
    :return: 事件发生的时间点列表  
    """  
    n_events = poisson.rvs(lambda_ * T)  # 根据泊松分布计算事件数量  
    event_times = np.sort(np.random.uniform(0, T, n_events))  # 在[0, T]内随机生成事件时间点并排序  
    return event_times  
  
# 非齐次泊松过程模拟（以简单的正弦变化速率为例）  
def inhomogeneous_poisson_process(T, base_lambda, freq):  
    """  
    模拟非齐次泊松过程（正弦变化速率）  
    :param T: 模拟的总时间  
    :param base_lambda: 基础事件发生率  
    :param freq: 正弦波的频率，用于调节事件发生率的变化  
    :return: 事件发生的时间点列表  
    """  
    time_steps = np.linspace(0, T, 1000)  # 创建一个时间轴，用于计算瞬时速率  
    lambda_t = base_lambda * (1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * freq * time_steps))  # 正弦变化的事件发生率  
  
    events = []  
    t = 0  
    while t < T: # 根据当前的瞬时速率计算下一个事件的发生时间 dt = np.random.exponential(1 / lambda_t[int(t * 1000 / T)]) if t + dt > T:  
            break  
        events.append(t + dt)  
        t += dt  
    return np.array(events)  
  
# 参数设置  
T = 10  # 模拟的总时间长度为10  
homogeneous_lambda = 2  # 齐次泊松过程的事件发生率  
inhomogeneous_base_lambda = 1  # 非齐次泊松过程的基础事件发生率  
freq = 1  # 正弦波的频率  
  
# 模拟齐次泊松过程和非齐次泊松过程  
homogeneous_events = homogeneous_poisson_process(T, homogeneous_lambda)  
inhomogeneous_events = inhomogeneous_poisson_process(T, inhomogeneous_base_lambda, freq)  
  
# 绘制图像  
plt.figure(figsize=(14, 7))  
  
# 绘制齐次泊松过程的事件时间点  
plt.subplot(1, 2, 1)  
plt.scatter(homogeneous_events, [0] * len(homogeneous_events), color='blue')  
plt.title('Homogeneous Poisson Process')  
plt.xlabel('Time')  
plt.ylabel('Event')  
plt.yticks([])  
plt.grid(True)  
plt.xlim(0, T)  
  
# 绘制非齐次泊松过程的事件时间点  
plt.subplot(1, 2, 2)  
plt.scatter(inhomogeneous_events, [0] * len(inhomogeneous_events), color='red')  
time_steps = np.linspace(0, T, 1000)  
plt.plot(time_steps, inhomogeneous_base_lambda * (1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * freq * time_steps)), color='green', label='λ(t)')  
plt.title('Inhomogeneous Poisson Process')  
plt.xlabel('Time')  
plt.legend()  
plt.ylabel('Event')  
plt.yticks([])  
plt.grid(True)  
plt.xlim(0, T)  
  
plt.tight_layout()  
plt.show()

三、实验结果

结合图片理解信息，我们可以对两种随机过程（齐次泊松过程和非齐次泊松过程）在形态和特征上的差异进行描述。

1.齐次泊松过程：

形态：图中齐次泊松过程以蓝色虚线表示，展示了一个相对稳定的点发生模式。各个时间间隔内的点发生数量大致相等，没有明显的疏密变化。

特征：均匀性是该过程的主要特征，即事件（点）在给定时间间隔内发生的概率是恒定的，不受时间或其他因素的影响。

2.非齐次泊松过程：

形态：非齐次泊松过程以绿色实线表示，其点发生模式呈现出明显的波动。某些时间间隔内点发生密集，而其他时间间隔内则相对稀疏。

特征：非均匀性是该过程的显著特点，事件发生的概率会随着时间或其他因素的变化而变化。